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第一课时 垂直于弦的直径(一)

  教学目标

  (1)理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程;能初步应用垂径定理进行计算和证明;

  (2)进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力;

  (3)通过圆的对称性,培养学生对数学的审美观,并激发学生对数学的热爱.

  教学重点、难点:

  重点:①垂径定理及应用;②从感性到理性的学习能力.

     难点:垂径定理的证明.

  教学学习活动设计:

  

  (一)实验活动,提出问题:

  1、实验:让学生用自己的方法探究圆的对称性,教师引导学生努力发现:圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性.

  2、提出问题:老师引导学生观察、分析、发现和提出问题.

  通过“演示实验——观察——感性——理性”引出垂径定理.

  (二)垂径定理及证明:

  已知:在⊙O中,CD是直径,AB是弦,CD⊥AB,垂足为E.

  求证:AE=EB, = , = .

  证明:连结OA、OB,则OA=OB.又∵CD⊥AB,∴直线CD是等腰△OAB的对称轴,又是⊙O的对称轴.所以沿着直径CD折叠时,CD两侧的两个半圆重合,A点和B点重合,AE和BE重合, 、 分别和 、 重合.因此,AE=BE, = , = .从而得到圆的一条重要性质.

  垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.

  组织学生剖析垂径定理的条件和结论:

   CD为⊙O的直径,CD⊥AB AE=EB, = , = .

  为了运用的方便,不易出现错误,将原定理叙述为:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.加深对定理的理解,突出重点,分散难点,避免学生记混.

  (三)应用和训练

  例1、如图,已知在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离为3cm,求⊙O的半径.

  分析:要求⊙O的半径,连结OA,只要求出OA的长就可以了,因为已知条件点O到AB的距离为3cm,所以作OE⊥AB于E,而AE=EB= AB=4cm.此时解Rt△AOE即可.

  解:连结OA,作OE⊥AB于E.

  则AE=EB.

  ∵AB=8cm,∴AE=4cm.

  又∵OE=3cm,

  在Rt△AOE中,

   (cm).

  ∴⊙O的半径为5 cm.

  说明:①学生独立完成,老师指导解题步骤;②应用垂径定理计算:涉及四条线段的长:弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h

  关系:r = h+d; r2 = d2 + (a/2)2

  例2、 已知:如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D两点.求证AC=BD.(证明略)

  说明:此题为基础题目,对各个层次的学生都要求独立完成.

  练习1:教材P78中练习1,2两道题.由学生分析思路,学生之间展开评价、交流.

  指导学生归纳:①构造垂径定理的基本图形,垂径定理和勾股定理的结合是计算弦长、半径、弦心距等问题的常用方法;②在圆中解决弦的有关问题经常作的辅助线——弦心距.

  (四)小节与反思

  教师组织学生进行:

  知识:(1)圆的轴对称性;(2)垂径定理及应用.

  方法:(1)垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法,构造直角三角形;(2)在因中解决与弦有关问题经常作的辅助线——弦心距;(3)为了更好理解垂径定理,一条直线只要满足①过圆心;②垂直于弦;则可得③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.

  (五)作业

  教材P84中11、12、13.

第二课时 垂直于弦的直径(二)

  教学目标

  (1)使学生掌握垂径定理的两个推论及其简单的应用;

  (2)通过对推论的探讨,逐步培养学生观察、比较、分析、发现问题,概括问题的能力.促进学生创造思维水平的发展和提高

  (3)渗透一般到特殊,特殊到一般的辩证关系.

  教学重点、难点

  重点:①垂径定理的两个推论;②对推论的探究方法.

  难点:垂径定理的推论1.

  学习活动设计:

  (一)分解定理(对定理的剖析)

  1、复习提问:定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对应的两条弧.

  2、剖析:

  (教师指导)

  (二)新组合,发现新问题:(A层学生自己组合,小组交流,B层学生老师引导)

   , ,……(包括原定理,一共有10种)

  (三)探究新问题,归纳新结论:

  (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦对应的两条弧.

  (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦对应的两条弧.

  (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.

  (4)圆的两条平行线所夹的弧相等.

  (四)巩固练习:

  练习1、“平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧”这句话对吗?为什么?

  (在推论1(1)中,为什么要附加“不是直径”这一条件.)

  练习2、按图填空:在⊙O中,

  (1)若MN⊥AB,MN为直径,则________,________,________;

  (2)若AC=BC,MN为直径,AB不是直径,则则________,________,________;

  (3)若MN⊥AB,AC=BC,则________,________,________;

  (4)若 = ,MN为直径,则________,________,________.

  (此题目的:巩固定理和推论)

  (五)应用、反思

  例、四等分 .

  (A层学生自主完成,对于其他层次的学生在老师指导下完成)

  教材P80中的第3题图,是典型的错误作.

  此题目的:是引导学生应用定理及推论来平分弧的方法,通过学生自主操作培养学生的动手能力;通过与教材P80中的第3题图的对比,加深学生对感性知识的认识及理性知识的理解.培养学生的思维能力.

  (六)小结:

  知识:垂径定理的两个推论.

  能力:①推论的研究方法;②平分弧的作图.

  (七)作业:教材P84中14题.


第三课时 垂径定理及推论在解题中的应用

  教学目的:

  ⑴要求学生掌握垂径定理及其推论,会解决有关的证明,计算问题.

  ⑵培养学生严谨的逻辑推理能力;提高学生方程思想、分类讨论思想的应用意识.

  ⑶通过例4(赵州桥)对学生进行爱国主义的教育;并向学生渗透数学来源于实践,又反过来服务于实践的辩证唯物主义思想

  教学重点垂径定理及其推论在解题中的应用

  教学难点如何进行辅助线的添加

  教学内容:

  (一)复习

  1.垂径定理及其推论1:对于一条直线和一个圆来说,具备下列五个条件中的任何个,那么也具有其他三个:⑴ 直线过圆心 ;⑵ 垂直于弦 ;⑶ 平分弦 ;⑷ 平分弦所对的优弧 ;⑸ 平分弦所对的劣弧.可简记为:“知2推3”

  推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等.

  2.应用垂径定理及其推论计算(这里不管什么层次的学生都要自主研究)

  涉及四条线段的长:弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h

  关系:r = h+d   ;  r2 = d2 + (a/2)2

  3.常添加的辅助线:(学生归纳)

  ⑴ 作弦心距 ;⑵ 作半径 .------构造直角三角形

  4.可用于证明:线段相等、弧相等、角相等、垂直关系;同时为圆中的计算、作图提供依据.

  (二)应用例题:(让学生分析,交流,解答,老师引导学生归纳)

  例1、1300多年前,我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4米,拱高(弧中点到弦的距离,也叫弓形的高)为7.2米,求桥拱的半径(精确到0.1米).

  说明:①对学生进行爱国主义的教育;②应用题的解题思路:实际问题——(转化,构造直角三角形)——数学问题.

  例2、已知:⊙O的半径为5 ,弦AB∥CD ,AB = 6 ,CD =8 .求:AB与CD间的距离.(让学生画图)

  解:分两种情况:

  (1)当弦AB、CD在圆心O的两侧

  过点O作EF⊥AB于E,连结OA、OC,

  又∵AB∥CD,∴EF⊥CD.(作辅助线是难点,学生往往作OE⊥AB,OF⊥AB,就得EF=OE+OF,错误的结论)

  由EF过圆心O,EF⊥AB,AB = 6,得AE=3,

  在Rt△OEA中,由勾股定理,得

  ,∴

  同理可得:OF=3

  ∴EF=OE+OF=4+3=7.

  (2)当弦AB、CD在圆心O的同侧

  同(1)的方法可得:OE=4,OF=3.

  ∴.

  说明:①此题主要是渗透分类思想,培养学生的严密性思维和解题方法:确定图形——分析图形——数形结合——解决问题;②培养学生作辅助线的方法和能力.

  例3、 已知:如图,AB是⊙O的弦,半径OC∥AB ,AB=24 ,OC = 15 .求:BC的长.

  解:(略,过O作OE⊥AE于E ,过B作BF⊥OC于F ,连结OB.BC = )

  说明:通过添加辅助线,构造直角三角形,并把已知与所求线段之间找到关系.

  (三)应用训练:

  P8l中1题.

  在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后.截面如图所示,若油面宽AB=600mm,求油的最大深度.

  学生分析,教师适当点拨.

  分析:要求油的最大深度,就是求有油弓形的高,弓形的高是半径与圆心O到弦的距离差,从而不难看出它与半径和弦的一半可以构造直角三角形,然后利用垂径定理和勾股定理来解决.

  (四)小结:

  1. 垂径定理及其推论的应用注意指明条件.

  2. 应用定理可以证明的问题;注重构造思想,方程思想、分类思想在解题中的应用.

  (五)作业:教材P84中15、16题,P85中B组2、3题.

探究活动

   如图,直线MN与⊙O交于点A、B,CD是⊙O的直径,CE⊥MN于E,DF⊥MN于F,OH⊥MN于H.

  (1)线段AE、BF之间存在怎样的关系?线段CE、OH、DF之间满足怎样的数量关系?并说明理由.

  (2)当直线CD的两个端点在MN两侧时,上述关系是否仍能成立?如果不成立,它们之间又有什么关系?并说明理由.

  (答案提示:(1)AE=BF,CE+DF=2OH,(2)AE=BF仍然成立,CE+DF=2OH不能成立.CE、DF、OH之间应满足)