反比例函数及其图象:反比例函数图像


教学设计示例1

反比例函数及其图象

  教学目标

  1、理解反比例函数,并能从实际问题中抽象出反比例关系的函数解析式;

  2、会画出反比例函数的图象,并结合图象分析总结出反比例函数的性质;

  3、渗透数形结合的数学思想及普遍联系的辨证唯物主义思想;

  4、体会数学从实践中来又到实际中去的研究、应用过程;

  5、培养学生的观察能力,及数学地发现问题,解决问题的能力.

  教学重点

  结合图象分析总结出反比例函数的性质;

  教学难点:描点画出反比例函数的图象

  教学用具:直尺

  教学方法:小组合作、探究式

  教学过程

  1、从实际引出反比例函数的概念

  我们在小学学过反比例关系.例如:当路程S一定时,时间t与速度v成反比例

  即vt=S(S是常数);

  当矩形面积S一定时,长a与宽b成反比例,即ab=S(S是常数)

  从函数的观点看,在运动变化的过程中,有两个变量可以分别看成自变量与函数,写成:
    (S是常数)
    (S是常数)
  一般地,函数 (k是常数, )叫做反比例函数.

  如上例,当路程S是常数时,时间t就是v的反比例函数.当矩形面积S是常数时,长a是宽b的反比例函数.

  在现实生活中,也有许多反比例关系的例子.可以组织学生进行讨论.下面的例子仅供

  2、列表、描点画出反比例函数的图象
  例1、画出反比例函数 与 的图象
  解:列表

x

-6

-5

-4

-3

1

2

3

4

5

6

-1

-1.2

-1.5

-2

6

3

2

1.5

1.2

1

1

1.2

1.5

2

-6

-3

-2

-1.5

-1.2

1

  说明:由于学生第一次接触反比例函数,无法推测出它的大致图象.取点的时候最好多取几个,正负可以对称着取分别画点描图


  一般地反比例函数 (k是常数, )的图象由两条曲线组成,叫做双曲线.

  3、观察图象,归纳、总结出反比例函数的性质

  前面学习了三类基本的初等函数,有了一定的基础,这里可视学生的程度或展开全面的讨论,或在老师的引导下完成知识的学习.

  显示这两个函数的图象,提出问题:你能从图象上发现什么有关反比例函数的性质呢?并能从解析式或列表中得到论证.(下列答案仅供参考)

  (1) 的图象在第一、三象限.可以扩展到k >0时的情形,即k>0时,双曲线两支各在第一和第三象限.从解析式中,也可以得出这个结论:xy=k,即x与y同号,因此,图象在第一、三象限.
   的讨论与此类似.
  抓住机会,说明数与形的统一,也渗透了数形结合的数学思想方法.体现了由特殊到一般的研究过程.
  (2)函数 的图象,在每一个象限内,y随x的增大而减小;
  从图象中可以看出,当x从左向右变化时,图象呈下坡趋势.从列表中也可以看出这样的变化趋势.有理数除法说明了同样的道理,被除数一定时,若除数大于零,除数越大,商越小;若除数小于零,同样是除数越大,商越小.由此可归纳出,当k>0时,函数 的图象,在每一个象限内,y随x的增大而减小.
  同样可以推出 的图象的性质.
  (3)函数 的图象不经过原点,且不与x轴、y轴交.从解析式中也可以看出, .如果x取值越来越大时,y的值越来越小,趋近于零;如果x取负值且越来越小时,y的值也越来越趋近于零.因此,呈现的是双曲线的样子.同理,抽象出 图象的性质.
  函数 的图象性质的讨论与次类似.
  4、小结:

  本节课我们学习了反比例函数的概念及其图象的性质.大家展开了充分的讨论,对函数的概念,函数的图象的性质有了进一步的认识.数学学习要求我们要深刻地理解,找出事物间的普遍联系和发展规律,能数学地发现问题,并能运用已有的数学知识,给以一定的解释.即数学是世界的一个部分,同时又隐藏在世界中.

  5、布置作业      习题13.8   1-4
教学设计示例2

反比例函数及其图像

  一、素质教育目标

  (一)知识教学点

  1.使学生了解反比例函数的概念;

  2.使学生能够根据问题中的条件确定反比例函数的解析式;

  3.使学生理解反比例函数的性质,会画出它们的图像,以及根据图像指出函数值随自变量的增加或减小而变化的情况;

  4.会用待定系数法确定反比例函数的解析式.

  (二)能力训练点

  1.培养学生的作图、观察、分析、总结的能力;

  2.向学生渗透数形结合的教学思想方法.

  (三)德育渗透点

  1.向学生渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点;

  2.使学生体会事物是有规律地变化着的观点.

  (四)美育渗透点

  通过反比例函数图像的研究,渗透反映其性质的图像的直观形象美,激发学生的兴趣,也培养学生积极探求知识的能力.

  二、学法引导

  教师采用类比法、观察法、练习法

  学生学习反比例函数要与学习其他函数一样,要善于数形结合,由解析式联想到图像的位置及其性质,由图像和性质联想比例系数k的符号.

  三、重点·难点·疑点及解决办法

  1.教学重点:反比例的概念、图像、性质以及用待定系数法确定反比例函数的解析式.因为要研究反比例函数就必须明确反比例函数的上述问题.

  2.教学难点:画反比例函数的图像.因为反比例函数的图像有两个分支,而且这两个分支的变化趋势又不同,学生初次接触,一定会感到困难.

  3.教学疑点:(1)反比例函数为何与x轴,y轴无交点;(2)反比例函数的图像只能说在第一、三象限或第二、四象限,而不能说经过第几象限,增减性也要说明在第几象限(或说在它的每一个象限内).

  4.解决办法:(1) 中隐含条件是 或 ;(2)双曲线的两个分支是断开的,研究函数的增减性时,要将两个分支分别讨论,不能一概而论.

  四、教学步骤

  (一)教学过程

  提问:小学是否学过反比例关系?是如何叙述的?

  由学生先考虑及讨论一下.

  答:小学学过:两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做反比例的量,它们的关系叫做反比例关系.

  看下面的实例:(出示幻灯)

  1. 当路程s一定时,时间t与速度v成反比例;

  2.当矩形面积S一定时,长a与宽b成反比例;

  它们分别可以写成 (s是常数), (S是常数)写在黑板上,用以得出反比例函数的概念:(板书)

  一般地,函数 (k是常数, )叫做反比例函数.

  即在上面的例子中,当路程s是常数时,时间t就是速度v的反比例函数,能否说:速度v是时间t的反比例函数呢?

  通过这个问题,使学生进一步理解反比例函数的概念,只要满足 (k是常数, )就可以.因此可以说速度v是时间t的反比例函数,因为 (s是常量).对第2个实例也一样.

  练习一:教材P129中1  口答.P130  1

  根据前面学习特殊函数的经验,研究完函数的概念,跟着要研究的是什么?

  答:图像和性质.

  通过这个问题,使学生对课本上给出的知识的发生、发展过程有一个明确的认识,以后

  学生要研究其他函数,也可以按照这种方式来研究.

  下面,我们就来看桓隼猓海ǔ鍪净玫疲?/P>

  例1  画出反比例函数 与 的图像.

  提问:1.画函数图像的关键问题是什么?

  答:合理、正确地选值列表.

  2.在选值时,你认为要注意什么问题?

  答:(1)由于函数图像的特点还不清楚,多选几个点较好;

  (2)不能选 ,因为 时函数无意义;

  (3)选整数较好计算和描点.

  这个问题中最核心的一点是关于 的问题,提醒学生注意.

  3.你能不能自己完成这道题呢?

  学生在练习本上列表、描点、连线,教师在黑板上板演,到连线时可暂停,让学生先连完线之后,找一名同学上黑板连线,然后就这名同学的连线加以评价、总结:

  注意:(1)一般地,反比例函数 的图像由两条曲线组成,叫做双曲线;

  (2)这两条曲线不相交;

  (3)这两条曲线无限延伸,无限靠近x轴和y轴,但永不会与x轴和y轴相交.

  关于注意(3)可问学生:为什么图像与xy轴不相交?

  通过这个问题既可加深学生对反比例函数图像的记忆,又可培养学生思维的灵活性和深刻性.

  再让学生观察黑板上的图,提问:

  1.当 时,双曲线的两个分支各在哪个象限?在每个象限内,yx的增大怎样变化?

  2.当 时,双曲线的两个分支各在哪个象限?在每个象限内,yx的增大怎样变化?

  这两个问题由学生讨论总结之后回答,教师板书:

  对于双曲线(1)当 :(1)当 时,双曲线的两分支位于一、三象限,yx的增大而减少;(2)当 时,双曲线的两分支位于二、四象限,yx的增大而增大.
 3.反比例函数的这一性质与正比例函数的性质有何异同?

  通过这个问题使学生能把学过的相关知识有机地串联起来,便于记忆和应用.

  练习二:教材P129中2由学生在练习本上完成,教师巡回指导.P130中2、3填在书上

  上面,我们讨论了反比例函数的概念、图像和性质,下面我们再来看一个不同类型的例题:(出示幻灯)

  例2已知y与 成反比例,并且当 时, ,求 时,y的值.

  用提问的方式对此题加以分析:

  (1)y与 成反比例是什么含义?

  由学生讨论这一问题,最后归结为根据反比例函数的概念,这句话说明了: .

  (2)根据这个式子,能否求出当 时,y的值?

  (3)要想求出y的值,必须先知道哪个量呢?

  (4)怎样才能确定k的值?用什么条件?

  答:用待定系数法,把 时 代入 ,求出k的值.

  (5)你能否自己完成这道例题:

  由一名同学板演,其他同学在练习本上完成.

  例3   已知: , 与x成正比例, 与x成反比例,当 时, 时, ,求yx的解析式.

  分析:一定要先写出yx的函数表达式 ,

  要用x分别把 , 表示出来得 ,

  要注意 不能写成k,∴

  解:设 ,

    .

   由题意得

   ∴ .

  (二)总结、扩展

  教师提问,学生思考回答:

  1.什么是反比例函数?

  2.反比例函数的图像是什么样的?

  3.反比例函数 的性质是什么?

  4.命题方向及题型设置,反比例函数也是中考命题的主要考点,其图像和性质,以及其函数解析式的确定,常以填空题、选择题出现,在低档题中,近两年各省、市的中考试卷中出现不少将反比例函数与一次函数、几何知识、三角知识等综合编拟的解答题,丰富了压轴题的形式和内容.

  五、布置作业

  1.教材P130中4,5,6

  2.选做:P130中B1,2

  六、板书设计

13.8反比例函数及其图像

引例:(1)例1:  例2:  例3:

   (2)

 1.反比例函数:

 2.反比例函数的性质

探究活动

  已知:如图,一次函数的图像经过第一、二、三象限,且与反比例函数的图像交于AB两点,与y轴交于点C,与x轴交于点D。 。

  (1)求反比例函数的解析式;

  (2)设点A的横坐标为m, 的面积为S,求Sm的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;

  (3)当 的面积等于 时,试判断过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长能否等于3。如果能,求此时抛物线的解析式;如果不能,请说明理由。

  解:(1)过点B作 轴于点H

   在Rt 中,

   

   由勾股定理,得

   又 ,

   

   ∴  点B(-3,-1)。

   设反比例函数的解析式为

    。

   ∵  点B在反比例函数的图像上,

    。

   ∴  反比例函数的解析式为 。

  (2)设直线AB的解析式为 。

   由点A在第一象限,得 。

   又由点A在函数 的图像上,可求得点A的纵坐标为 。

   ∵  点B(-3,-1),点 ,

   ∴    解关于 、 的方程组,得

   ∴  直线AB的解析式为 。

   令  。

   求得点D的横坐标为 。

   过点A作 轴于点G

   

   由已知,直线经过第一、二、三象限,

   ∴  ,即 。

   

   由此得 

   ∴  。

   即  。

  (3)过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长不能等于3。

  证明如下:

    。

   由 ,

   得 

   解得 。

   经检验, 都是这个方程的根。

    ,

   ∴  不合题意,舍去。

   ∴  点A(1,3)。

   设过A(1,3)、B(-3,-1)两点的抛物线的解析式为 。

   ∴    由此得

   即  。

   设抛物线与x轴两交点的横坐标为 。

   则 

   令 

   则  。

   即  。

   整理,得  。

    ,

   ∴  方程 无实数根。

  因此过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长不能等于3。