三角形内切圆的半径【三角形的内切圆】


1、教材分析

  (1)知识结构

  (2)重点、难点分析

  重点:三角形内切圆的概念及内心的性质.因为它是三角形的重要概念之一.

  难点:①难点是“接”与“切”的含义,学生容易混淆;②画三角形内切圆,学生不易画好.

  2、教学建议

  本节内容需要一个课时.

  (1)在教学中,组织学生自己画图、类比、分析、深刻理解三角形内切圆的概念及内心的性质;

  (2)在教学中,类比“三角形外接圆的画图、概念、性质”,开展活动式教学.

教学目标

  1、使学生了解尺规作三角形的内切圆的方法,理解三角形和多边形的内切圆、圆的外切三角形和圆的外切多边形、三角形内心的概念;

  2、应用类比的数学思想方法研究内切圆,逐步培养学生的研究问题能力;

  3、激发学生动手、动脑主动参与课堂教学活动.

  教学重点

  三角形内切圆的作法和三角形的内心与性质.

  教学难点

  三角形内切圆的作法和三角形的内心与性质.

  教学活动设计

   (一)提出问题

  1、提出问题:如图,你能否在△ABC中画出一个圆?画出一个最大的圆?想一想,怎样画?

  2、分析、研究问题:

  让学生动脑筋、想办法,使学生认识作三角形内切圆的实际意义.

  3、解决问题:

   例1  作圆,使它和已知三角形的各边都相切.

  引导学生结合图,写出已知、求作,然后师生共同分析,寻找作法.

  提出以下几个问题进行讨论:

  ①作圆的关键是什么?

  ②假设⊙I是所求作的圆,⊙I和三角形三边都相切,圆心I应满足什么条件?

  ③这样的点I应在什么位置?

  ④圆心I确定后半径如何找.

  A层学生自己用直尺圆规准确作图,并叙述作法;B层学生在老师指导下完成.

  完成这个题目后,启发学生得出如下结论: 和三角形的各边都相切的圆可以作一个且只可以作出一个.

  (二)类比联想,学习新知识.

  1、概念:和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形

  2、类比:

名称

确定方法

图形

性质

外心(三角形外接圆的圆心)

三角形三边中垂线的交点

(1)OA=OB=OC;

(2)外心不一定在三角形的内部.

内心(三角形内切圆的圆心)

三角形三条角平分线的交点

(1)到三边的距离相等;

(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB;

(3)内心在三角形内部.

  3、概念推广:和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆,这个多边形叫做圆的外切多边形

  4、概念理解:

  引导学生理解三角形的内切圆及圆的外切三角形的概念,并与三角形的外接圆与圆的内接三角形概念相比较,以加深对这四个概念的理解.使学生弄清“内”与“外”、“接”与“切”的含义.“接”与“切”是说明三角形的顶点和边与圆的关系:三角形的顶点都在圆上,叫做“接”;三角形的边都与圆相切叫做“切”.
 (三)应用与反思

  例2 如图,在△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB=75°,点O是三角形的内心.

   求∠BOC的度数

  分析:要求∠BOC的度数,只要求出∠OBC和∠0CB的度数之和就可,即求∠l十∠3的度数.因为O是△ABC的内心,所以OB和OC分别为∠ABC和∠BCA的平分线,于是有∠1十∠3= (∠ABC十∠ACB),再由三角形的内角和定理易求出∠BOC的度数.

  解:(引导学生分析,写出解题过程)

  例3 如图,△ABC中,E是内心,∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D

  求证:DE=DB

  分析:从条件想,E是内心,则E在∠A的平分线上,同时也在∠ABC的平分线上,考虑连结BE,得出∠3=∠4.

  从结论想,要证DE=DB,只要证明BDE为等腰三角形,同样考虑到连结BE.于是得到下述法.

  证明:连结BE.

   E是△ABC的内心

   又∵∠1=∠2

   ∠1=∠2

   ∴∠1+∠3=∠4+∠5

   ∴∠BED=∠EBD

   ∴DE=DB

  练习 分析作出已知的锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内切圆,并说明三角形的内心是否都在三角形内.

  (四)小结

  1.教师先向学生提出问题:这节课学习了哪些概念?怎样作已知三角形的内切圆?学习时互该注意哪些问题?

  2.学生回答的基础上,归纳总结:

  (1)学习了三角形内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形、多边形的内切圆、圆的外切多边形的概念.

  (2)利用作三角形的内角平分线,任意两条角平分线的交点就是内切圆的圆心,交点到任意一边的距离是圆的半径.

  (3)在学习有关概念时,应注意区别“内”与“外”,“接”与“切”;还应注意“连结内心和三角形顶点”这一辅助线的添加和应用.

  (五)作业

  教材P115习题中,A组1(3),10,11,12题;A层学生多做B组3题.

探究活动

  问题:如图1,有一张四边形ABCD纸片,且AB=AD=6cm,CB=CD=8cm,∠B=90°.

  (1)要把该四边形裁剪成一个面积最大的圆形纸片,你能否用折叠的方法找出圆心,若能请你度量出圆的半径(精确到0.1cm);

  (2)计算出最大的圆形纸片的半径(要求精确值).

  提示:(1)由条件可得AC为四边形似的对称轴,存在内切圆,能用折叠的方法找出圆心:

  如图2,①以AC为轴对折;②对折∠ABC,折线交AC于O;③使折线过O,且EB与EA边重合.则点O为所求圆的圆心,OE为半径.

  (2)如图3,设内切圆的半径为r,则通过面积可得:6r+8r=48,∴r=.