正切和余切|正切和余切的关系


第一课时

  一、教学目标

  1.使学生了解正切、余切的概念,能够正确地用 、 表示直角三角形(其中一个锐角为 )中两边的比,了解 与 成倒数关系,熟记30°、45°、60°角的各个三角函数值,会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子,会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个角的度数,了解一个锐角的正切(余切)值与它的余角的余切(正切)值之间的关系。

  2.逐步培养学生观察、比较、分析、综合、概括等逻辑思维能力。

  3.培养学生独立思考、勇于创新的精神。

  二、学法引导

  1.教学方法:运用类比法指导学生探索研究新知。

  2.学生学法:运用类比法主动探索研究新知。

  三、重点、难点、疑点及解决办法

  1.重点:了解正切、余切的概念,熟记特殊角的正切值和余切值。

  2.难点:了解正切和余切的概念。

  3.疑点:正切与余切概念的混淆.

  4.解决办法:通过类比引出概念和性质,再通过大量直接应用,巩固概念和性质。

  四、教具准备

  投影机、投影片(自制)、三角板

  五、教学步骤

  (一)明确目标

  1.什么是锐角 的正弦、余弦?(结合下图回答)。

  2.填表

  3.互为余角的正弦值、余弦值有何关系?

  4.当角度在0°~90°变化时,锐角的正弦值、余弦值有何变化规律?

  5.我们已经掌握一个锐角的正弦(余弦)是指直角三角形中该锐角的对边(邻边)与斜边的比值,那么直角三角形中,两直角边的比值与锐角的关系如何呢?在锐角三角函数中,除正、余弦外,还有其他一些三角函数,本节课我们学习正切和余切。

  (二)整体感知

  正切、余切的概念,也是本间的重点和关键,是全章知识的基础,对学生今后的学习或工作都十分重要,教材在继第一节正弦和余弦后,又以同样的顺序安排第二节正切余切,像这样,把概论、计算和应用分成两块,每块自与一个整体小循环,第二循环又包含了第一循环的内容,可以有效地克服难点,同时也使学生通过对比,便于掌握锐角三角函数的有关知识。

  (三)教学过程

  1.引入正切、余切概念

  ①本节课我们研究两直角边的比值与锐角的关系,因此同学们首先应思考:当锐角固定时,两直角边的比值是否也固定?

  因为学生在研究过正弦、余弦概念之后,已经接触过这类问题,所以大部分学生能口述证明,并进一步猜测“两直角边的比值一定是正切和余切”。

  ②给出正切、余切概念。

  如图,在 中,把 的对边与邻边的比叫做 的正切,记作 。

  即   

  并把 的邻边与对边的比叫做 的余切,记作 ,

                      即    

  2. 与 的关系

  请学生观察 与 的表达式,得结论 (或 , )这个关系式既重要又易于掌握,必须让学生深刻理解,并与 区别开.

  3.锐角三角函数

  由上图, , , , ,把锐角 的正弦、余弦、正切、余切都叫做 的锐角三角函数。

  锐角三角函数概念的给出,使学生茅塞顿开,初步理解本节题目。

  问:锐角三角函数能否为负数?

  学生回答这个问题很容易。

  4.特殊角的三角函数。

  ①教师出示幻灯片

  请同学推算30°、45°、60°角的正切、余切值。(如下图)

   ;

   ;

   ;

   ;

   ;

   .

  通过学生计算完成表格的过程,不仅复习巩固了正切、余切概念,而且使学生熟记特殊角的正切值与余切值,同时渗透了数形结合的数学思想。

  0°,90°正切值与余切值可引导学生查“正切和余切表”,学生完全能独立查出。

  5.根据互为余角的正弦值与余弦值的关系,结合图形,引导学生发现互为余角的正切值与余切值的关系。

  结论:任意锐角的正切值等于它的余角的余切值,任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。

  即   , .

  练习:1)请学生回答 与 的值各是多少? 与 ? 与 呢?学生口答之后,还可以为程度较高的学生设置问题: 与 有何关系?为什么? 与 呢?

  2)把下列正切或余切改写成余角的余切或正切:

  (1) ;(2) ;(3) ;(4) ;(5) ;(6) 。

  6.例题

  【例1】求下列各式的值:

  (1) ;

  (2) .

  解:(1)

   

    ;

(2)

=2.

  练习1.求下列各式的值:

  (1) ;

  (2) ;

  (3) ;

  (4) ;

  (5) .

  2.填空:

  (1)

  (2)若 ,则锐角

  (3)若 ,则锐角

  学生的计算能力可能不很强,尤其是分式,二次根式的运算,因此这里应查缺补漏,以培养学生运算能力。

  (四)总结扩展

  请学生小结:本节课了解了正切、余切的概念及 与 关系.知道特殊角的正切余切值及互为余角的正切值与余切值的关系.本课用到了数形结合的数学思想.

  结合 及 ,可扩展为 .

  六、布置作业

  1.看教材P12~P14,培养学生看书习惯。

  2.教材P16中习题6.2A组2、3、4、5、6.

  七、板书设计

 
第二课时

  一、教学目标

  1.巩固正、余切概念,学会用正、余切来解决问题.

  2.通过例题教学,培养学生分析问题、解决问题的能力; 通过归纳、概括,培养学生逻辑思维能力。

  3.培养学生独立思考、勇于创新的精神及良好的学习习惯。

  二、学法引导

  1.教学方法:指导探索研究法。

  2.学生学法:主动探索研究法。

  三、重点、难点、疑点及解决办法

  1.重点:用正、余切解直角三角形。

  2.难点:灵活运用正切、余切。

  3.疑点:学生可能对正切、余切概念掌握不牢,导致出现 之类的错误,教学中应引起重视,使学生熟能生巧。

  4.解决办法:通过教师精心引导,学生积极思维,主动研究发现,及练习巩固解决重难点及疑点。

  四、教具准备

  投影机(或电脑)、自制投影片(或课件)、三角板

  五、教学步骤

  (一)明确目标

  结合图,说出什么是 的正切、余切?

  请班级里较差学生回答,以检测其掌握情况.

  2. 与 具有什么关系?

  答: (或 或 ).

  3.互为余角的正切值与余切值具有什么关系?

  答: ,

  3.互为余角的正切值与余切值具有什么关系?

  答: ,

  4.在0°~90°间,正切、余切值随角度变化而变化的规律是什么?

  通过以上四个问题,使学生对新学的知识有了系统的认识,便于应用.

  对概念的巩固最好的途径是配备练习题.因此,教师在引导学生复习有关概念后,应出示练习题(投影片).

  1.在 中, 为直角, 、 、 所对的边分别为 。

  ①若 , ,则 , , ,

  ②若 ,则

  2.比较大小:

  ①        ②

  ③        ④

  3.计算题:

  ① ;

  ② .

  (二)整体感知

  本课安排在本小节末,运用本小节的知识去解决一个简单问题,再次为本章第二节解直角三角形做好准备.当然,这个问题只用上一小节学过的正弦、余弦也可以解决,不过那样做,就要先求出斜边 ,解的过程要繁琐一些。

  (三)教学过程

  1.讲授新课

  【例】在 中, 为直角, 所对的边分别是 ,已知 , ,求 (保留两位有效数字).

  这个题是本大节知识的综合运用,考查知识点面面俱到,是检查全体学生是否全面达到教学目标要求有效途径,教学中应引导学生全体参与,积极地探求各种解法,然后加以比较,优选出最佳方法,以培养学生思维的敏捷性、深刻性,形成良好的思维品质。

  分析:本题已知 和 ,求 ,观察图不难发现,边 恰好是 的对边与邻邦边,因此求 可选用以下两个关系式:(1) ,(2) .

  请学生比较一下,哪一个关系计算更简便呢?答:若选用 ,由此得 ,用 除以含四位有效数字的数,计算比较麻烦;而选用 ,由此得 .用 乘以含四位有效数字的数,计算相对方便.

  解: ,

  ∴

  解完例题之后,应引导学生小结:本题显示了“除法与乘法在一定条件下可以互相转化”,其中“条件”是 与 互为倒数.认真分析和利用这种转化,有时可使计算简便.

  2.巩固练习

  本节课实际上是对前面课的综合,通过对前面知识的综合运用,以培养学生的比较、分析、概括等逻辑思维能力.因此例题后应安排练习题如下:

  在 中, 为直角, 、 、 所对的边分别为 .

  (1)已知 , ,求 和 .

  (2)已知 , ,求 和 .

  (3)已知 , ,求 .

  (4)已知 , ,求 .

  (5)已知 , ,求 .

  (6)已知 , ,求 和 (保留两位有效数字).

  教法说明:给学生足够的时间,引导学生讨论、研究,筛选出最佳关系式使计算简便,既培养学生计算能力,巩固所学知识,又能培养学生的思维能力.

  [参考答案](1) , ;(2) , ;(3) ;(4) ;(5) ;(6) , .

  3.对学有余力的学生,可引导其读教材P15想一想.使学生对正弦、余弦间的关系,正切、余切间的关系以及弦、切间的关系有所了解,保证知识的完整性,为高中三角函数的学习打下基础.教师板书

      

         .

  (四)总结、扩展

  引导学生总结:1.要认真分析直角三角形中的各边与角的三角函数关系.2.因为同一个角的正切和余切可以互相转化,所以在选用关系时昼选择乘法使计算较简便.

  六、布置作业

  1.看教材P1~P17,培养学生看书习惯。

  2.教材P17习题A组7、8,学有余力的学生可选做B组题。

  七、板书设计