[由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组]二元二次方程解法公式


第一课时

  一、教学目标

  1.使学生掌握由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程组成的方程组的解法.

  2. 通过例题的分析讲解,进一步提高学生的分析问题和解决问题的能力;

  3. 通过一个二元二次方程解法的分析,使学生进一步体会“消元”和“降次”的数学思想方法,继续向学生渗透“转化”的辨证唯物主义观点.

  二、重点·难点·疑点及解决办法

  1.教学重点:通过把一个二元二次方程分解为两个二元一次方程来解由两个二元二次方程组成的方程组.

  2.教学难点:正确地判断出可以分解的二元二次方程.

  3.教学疑点:降次后的二元一次方程与哪个方程重新组成方程组,一定要分清楚.

  4.解决办法:(1)看好哪个二元二次方程能分成两个二元一次方程,它们之间是“或”的关系,不能联立成方程组.(2)分解好的二元一次方程应与另一个二元二次方程组成两个二元二次方程组.

  三、 教学过程

  1.复习提问

  (1)我们所学习的二元二次方程组有哪几种类型?

  (2)解二元二次方程组的基本思想是什么?

  (3)解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的基本方法是什么?其主要步骤是什么?

  (4)解方程组: .
(5)把下列各式分解因式:

  ① ; ② ; ③ .

    关于问题设计的说明:

    由于二元二次方程组的第一节课已经向学生阐明了我们所研究的二元二次方程组有两种类型.其一是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组;其二是由

  两个二元二次方程所组成的方程组.由于第一种类型我们已经研究完,使学生自然而然地接

  受了第二种类型研究的要求.关于问题(2)的提出,由于两种类型的二元二次方程组的解题思想均为“消元”和“降次”,所以问题(2)让学生懂得“消元”和“降次”的数学思想,贯穿于解二元二次方程组的始终.问题(3)、(4)是对上两节课内容的复习,以便学生对已学过的知识得到进一步的巩固.由于本节课的学习内容是由两个二元二次方程组成的二元二次方程组的解法,其中有一个二元二次方程可以分解,因此,问题(5)的设计是为本节课的学习内容做准备的.

    2.例题讲解

  例1 解方程组

  

    分析:这是一个由两个二元二次方程组成的二元二次方程组,其解题的基本思路仍为“消元”、“降次”,使之转化为我们已经学过的方程组或方程的解法.那么如何转化呢?关于转

  化的形式有两种,要么降二次为一次,要么化二元为一元我们通过观察方程组中的两个方程有什么特点,可以发现:方程组(2)的右边是0,左边 是一个二次齐次式,并且可以分解为 ,因此方程(2)可转化为 ,即 或 ,从而可分别和方程(1)组成两个由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组,从而解出这两个方程组,得到原方程组的解.

  解:由(2)得

  

  因此,原方程组可化为两个方程组

  

  解方程组,得原方程组的解为

  

  说明:本题可由教师引导学生独立完成,教师应对学生的解题格式给予强调.

  例2 解方程组

  

    分析:这个方程组也是由两个二元二次方程组成的方程组,通过认真的观察与分析可以

  发现方程(2)的左边是一个完全平方式,而右边是完全平方米,因此将右边16移到左边后可利用平方差公式进行分解, ,即 或 ,从而可仿例1的解法进行.

  解:由 (2)得

   .

  即 ,或 .

  因此,原方程组可转化为两个方程组

  

  解这两个方程组,得原方程组的解为

  

  巩固练习:

  1.教材P60中1.此练习可让学生口答.

  2.教材P60中2.此题让学生独立完成.

  四、总结扩展

  本节小结,内容较为集中并且比较简单,可引导学生从两个方面进行总结:(1)本节课学习了哪种类型的方程组的解法;(2)这种类型的方程组的解题步骤如何?

  这节课我们学习了由两个二元二次方程组成的并且有一个方程是可以分解成两个二元一次方程的方程组的解法,解这种类型的方程组的步骤是将原二元二次方程组转化为两个已学习过的二元二次方程组,从而求出原方程组的解.

  关于比较特殊的二元二次方程组的解法,教师可以利用辅导课的时间补充两个二元二次方程都可以分解的二元二次方程组的解法.

  五、布置作业

  1.教材P61A 1,2,3.

  六、板书设计

  

探究活动

  若关于 的方程 只有一个解,试求出 值与方程的解.

  解:化简原方程,得  (1)

  当 时,原方程有惟一解 ,符合题意.

  当 时,方程(1)根据的判别式

  

  ∵

  ∴ ,故方程(1)总有两个不同的实数解,按题意其中必有一根是原方程的增根,原方程可能产生的增根只是0或1.

  把 代入(1),方程不成立,不合题,故增根只能是 ,把 代入(1)得 ,此时方程为 ,

  ∴当 时,分式方程的解为 ;当 时,分式方程的解为 .