初二数学补习班 [初二数学精华]


一元一次不等式和一元一次不等式组

不等式和它的基本性质

  考点扫描:

  1.了解不等式的意义。

  2.掌握不等式的三条基本性质,并会运用这些基本性质将不等式变形。

  名师精讲:

  1.不等式的概念:用不等号把两个代数式连接起来,表示不等关系的式子,叫做不等式。

  2.不等式的基本性质

  (1)不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变。用式子表示:如果a>b,那a+c>b+c(或a–c>b–c)

  (2)不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。用式子表示:如果a>b,且c>0,那么ac>bc(或>)

  (3)不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。用式子表示:如果a>b,且c<0,那么ac<bc(或<)

  3.不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据。不等式的性质与等式的性质类似,但等式的结论是“仍是等式”,而不等式的结论则是“不等号方向不变或改变”。在运用性质(2)和性质(3)时,要特别注意不等式的两边乘以或除以同一个数,首先认清这个数的性质符号,从而确定不等号的方向是否改变。

  中考典例:

  1.(天津市)若a>b,则下列不等式一定成立的是(   )
  A、<1  B、>1  C、–a>–b  D、a–b>0

  考点:不等式的性质

  评析:不等式的性质是:不等式两边同时加上或减去同一个数(或整式)不等号不变;不等式两边同时乘以或除以正数不等号不变;不等式两边同时乘以或除以一个负数,不等号的方向改变。因此a>b,所以a、b均可为负数也可为正数,所以A、B选项都不对,C选项不等号的方向没改变,所以也不对,因a>b,(a、b代表的是任意数)所以根据不等式的性质运用排除法,可知正确选项为D。

  真题专练

  1.(北京海淀区)比较大小:当实数a<0时,1+a     1–a(填“<”或“>”)

  2.(广东省)已知实数a、b满足ab>0,a+b<0,则满足条件的实数a、b可分别为   (写出满足条件的两个数即可)。

  3.(北京西城区)如果a>b,那么下列结论中错误的是(  )
  A、a–3>b–3  B、3a>3b
  C、>    D、–a>–b  

  4.(北京海淀区)若a–b<0,则下列各式中一定正确的是(  )
  A、a>b  B、ab>0  C、  D、–a>–b 

  5.(天津市)若a>b,且c为实数则下列各式正确的是(  )
  A、ac>bc  B、ac<bc  C、ac2>bc2  D、ac2≥bc2

  6.(荆门市)已知a、b、c是有理数,且a>b>c,那么下列式子正确的是(  )
  A、a+b>b+c  B、a–b>b–c  C、ab>bc  D、

  答案:
  
1、<   2、–1,–2   3、D   4、D 

  5、D(提示:按c>0、c=0、c<0三种情况讨论) 

  6、A(提示:a、b、c是任意有理数,所以C、D不对,当C是负数或0时B不对,因a>c故a+b>b+c)

不等式的解集

  考点扫描:

  1.了解不等式的解和解集的概念。

  2.会在数轴上表示不等式的解集。

  名师精讲:

  1.不等式的解:能使不等式成立的未知数的值,叫做这个不等式的解。一般地,一个一元一次不等式有无数多个解。

  2.不等式的解集:一个含有未知数的不等式的所有的解,组成这个不等式的解的集合,简称这个不等式的解集。

  “不等式的解”与“不等式的解集”是两个不同的概念,前者是指能使不等式成立的每一个未知数的值,后者是指能使不等式成立的所有未知数的值的集合。但二者之间也有着密切联系,即所有解组成了解集,解集中包括了每一个解。

  求不等式的解集的过程,叫做解不等式。

  3.不等式解集的表示方法。

  (1)用不等式表示:如5x>10的解集是x>2,它的解集仍是一个不等式,这种表示法简单明了,容易知道哪些数不是原不等式的解。

  (2)用数轴表示:它的优点是数形结合、直观形象,尤其是在解较复杂的不等式或解不等式组时,易于找到正确的答案。在数轴上表示不等式的解集时,要注意:当解集包括端点时,在端点处画实心圆圈,否则,画空心圆圈。

  中考典例:

  (龙岩市、宁德市)不等式2x+10>3的解集是    

  考点:不等式的解集

  评析:不等式的解集是使不等式成立的所有未知数的值组成的集合。该题可用不等式的性质两边同时减10,然后两边再除以2,求得解集为x>。

  真题专练

  1.(石家庄市)不等式–6x>4的解集是(  )
  A、x>  B、x<  C、x>  D、x<

  2.(宜昌市)如果不等式(a–1)x>a–1的解集是x<1,则a的取值范围是( )

  3.(徐州市)不等式5x–4<6x的解集是      

  4.(西安市)若代数式3x+4的值不大于0,则x的取值范围是(  )
  A、x<  B、x≥  C、x≤-  D、x<–

  答案:

  
1、B;

  2、a<1(提示:因为不等号的方向改变了,所以a–1<0,即a<1);

  3、x>–4;

  4、C(提示:3x+4的值不大于0,即得不等式3x+4≤0)