提公因式法_提公因式法20道例题


教学设计

提公因式法(一)

教学目标
  1.使学生了解因式分解的意义,理解因式分解的概念及其与整式乘法的区别和联系.
  2.使学生理解提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式.
  3.通过学生自行探求解题途径,培养学生观察、分析和创新能力,深化学生逆向思维能力.

教学重点及难点
教学重点
  因式分解的概念及提公因式法.
教学难点
  正确找出多项式各项的公因式及分解因式与整式乘法的区别和联系.
教学过程设计:
一、复习提问
  乘法对加法的分配律.
二、新课
1.新课引入:用类比的方法引入课题.
  在学习分数时,我们常常要进行约分与通分,因此常常要把一个数分解因数(即分解约数).例如,把15分解成3×5,把42分解成2×3×7.
  在第七章我们学习了整式的乘法,几个整式相乘可以化成一个多项式,那么一个多项式如何化成几个整式乘积的形式呢?这一章就是学习如何把一个多项式化成几个整式的积的方法.
2.因式分解的概念:
请学生每人写出一个单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的例子,并计算出其结果.(老师按学生所说在黑板写出几个.)
  如:m(a+b+c)=ma+mb+mc
    2xy(x-2xy+1)=2x2y-4x2y2+2xy
    (a+b)(a-b)=a2-b2
    (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
    (x-5)(2-x)=-x2+7x-10 等等.
  再请学生观察它们有什么共同的特点?
  特点:左边,整式×整式;右边,是多项式.
  可见,整式乘以整式结果是多项式,而多项式也可以变形为相应的整式与整式的乘积,我们就把这种多项式的变形叫做因式分解.
  定义:把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.
  如:因式分解:ma+mb+mc=m(a+b+c).
    整式乘法:m(a+b+c)=ma+mb+mc.
  让学生说出因式分解与整式乘法的联系与区别.
  联系:同样是由几个相同的整式组成的等式.
  区别:这几个相同的整式所在的位置不同,上式是因式分解;下式是整式乘法.两者是方向相反的恒等变形,二者是一个式子的不同表现形式,一个是多项式的表现形式,一个是两个或几个因式积的表现形式.

  例1 下列各式从左到右哪些是因式分解?(投影)
    (1)x2-x=x(x-1) (√)
    (2)a(a-b)=a2-ab (×)
    (3)(a+3)(a-3)=a2-9 (×)
    (4)a2-2a+1=a(a-2)+1 (×)
    (5)x2-4x+4=(x-2)2 (√)
  下面我们学习几种常见的因式分解方法.
3.提公因式法:
  我们看多项式:ma+mb+mc
  请学生指出它的特点:各项都含有一个公共的因式m,这时我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式.
  注意:公因式是各项都含有的公共的因式.
  又如:a是多项式a2-a各项的公因式.
     ab是多项式5a2b-ab2各项的公因式.
     2mn是多项式4m2np-2mn2q各项的公因式.
  根据乘法的分配律,可得
    m(a+b+c)=ma+mb+mc,
  逆变形,便得到多项式ma+mb+mc的因式分解形式
    ma+mb+mc=m(a+b+c).
  这说明,多项式ma+mb+mc各项都含有的公因式可以提到括号外面,将多项式 ma+mb+mc写成m(a+b+c)的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.
  定义:一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多  项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.
  显然,由定义可知,提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式.让学生观察上面的公因式的特点,找出确定公因式的万法:(1)公因式的系数应取各项系数的最大公约数:(2)字母取各项的相同字母,而且各字母的指数取次数例2 指出下列各多项式中各项的公因式:
    (1)ax+ay+a (a)
    (2)3mx-6mx2 (3mx)
    (3)4a2+10ah (2a)
    (4)x2y+xy2 (xy)
    (5)12xyz-9x2y2 (3xy)
  
  例3 把8a3b2-12ab3c分解因式.
   分析:分两步:第一步,找出公因式;第二步,提公因式.
   先引导学生按确定公因式的方法找出多项式的公因式4ab2.
   解:8a3b2-12ab3c=4ab2·2a2-4ab2·3bc=4ab2(2a2-3bc).
   说明:
    (1)应特别强调确定公因式的两个条件以免漏取.
    (2)开始讲提公因式法时,最好把公因式单独写出.①以显提醒;③强调提公因式;③强调因式分解.
  
  例4 把3x2-6xy+x 分解因式.
   分析:先引导学生找出公因式x,强调多项式中x=x·1.
   解:3x2-6xy+x
     =x·3x-x·6y+x·1
     =x(3x-6y+1).
   说明:当多项式的某一项恰好是公因式时,这项应看成它与1的乘积,提公因式后剩下的应是1,1作为项的系数通常可以省略,但如果单独成一项时,它在因式分解时不能漏掉,这类题常常有些学生犯下面的错误,3x2-6xy+x=x(3x-6y),这一点可让学生利用恒等变形分析错误原因.还应提醒学生注意:提公因式后的因式的项数应与原多项式的项数一样,这样可以检查是否漏项.

课堂练习:(投影)
  把下列各式分解因式:
    (l)2πR+2πr;
(2)
    (3)3x3+6x2;
    (4)21a2+7a;
    (5)15a2+25ab2;
    (6)x2y+xy2-xy.
  
  例5 把-4m3+16m2-26m分解因式.
  分析:此多项式第一项的系数是负数,与前面两例不同,应先把它转化为前面的情形便可以因式分解了,所以应先提负号转化,然后再提公因式,提"-"号时,注意添括号法则.
  解:-4m3+16m2-26m
    =-(4m3-16m2+26m)
    =-2m(2m2-8m+13).
  说明:通过此例可以看出应用提公因式法分解因式时,应先观察第一项系数的正负,负号时,运用添括号法则提出负号,此时一定要把每一项都变号;然后再提公因式.

课堂练习:(投影)
  把下列各式分解因式:
    (1)-15ax-20a;
    (2)-25x8+125x16;
    (3)-a3b2+a2b3;
    (4)-x3y3-x2y2-xy;
    (5)-3ma3+6ma2-12ma;

  (6)

(三)小结
  1.因式分解的意义及其概念.
  2.因式分解与整式乘法的联系与区别.
  3.公因式及提公因式法.
  4.提公因式法因式分解中应注意的问题.
六、作业
  教材 P.10中 1、2、3、4.
七、板书设计